(а;b)

а

а

b

b

Правило параллелограмма

а+ b

а

b

а+ b

а

b

Правило треугольника

Дидактические материалы к разделу «Векторы на плоскости и

в пространстве»

Пояснение к занятию.

Пусть даны вектора а и b, тогда

Сумма векторов:

Разность векторов:

По определению а – b = а + (- b)

Умножение вектора на число:

Произведением ненулевого вектора на число х ≠ 0 называется вектор, длина

которого равна



х



·



а



, а направление совпадает с направлением а, если

а>0, и противоположна ему , если х<0

Угол между векторами:

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между

направлениями этих векторов.

Скалярное произведение векторов:

-2а

2а

а

1

H

А

D

С

В

b

а

а

М

N

С

В

А

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число,

равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

а · b =



а



·



b



· cos (а;b)

Пример 1.

В трапеции АВСD, АD|| ВС, ےАВС =120°, АD

= 6 м, АВ = 3 м. Найдите

|АВ - АD|.

Решение:

|АВ - АD| = |DВ| = DВ. Т.к. АD|| ВС, то

ےВАD =120°- ےАВС = 60°.

Проведем высоту ВН трапеции. В треугольнике АВН имеем:

ВН = АВ·sin 60° =

·

=

(м), НА = АВ·cos 60°=

(м).

Тогда DН = АD – НА = 4,5(м).

Из треугольника ВНD по теореме Пифагора находим:

ВD

2

= DН

2

+ ВН

2

=

= 27 , откуда ВD = 3

(м).

Итак |АВ - АD| = DВ = 3

(м).

N

Пример 2.

Точки МN – середины сторон АВ и АС

треугольника АВС. Выразите векторы ВМ,

NС, МN, ВN через векторы а = АМ и b = АN.

Решение.

ВМ = МА = - АМ = - а

(так как

АМ ↑↓ ВМ, М – середина АВ);

NС = АN = b (т.к. АN ↑↑NС, N – середина АС);

АМ + МN =АN, тогда МN = АN – АМ = b – а;

ВN = ВА + АN = ВМ + МА + АN = ВМ – АМ + АN = - а- а+ b=-2а+ b.

Пример 3.

На сторонах СD и диагонали АС параллелограмма АВСD лежат точки Р и Е

так, что DР : РС = 3:2, АЕ : ЕС = 4:3. Выразите векторы ЕР через векторы

а = АВ и b = АD.

Решение.

Очевидно, что: АD = АЕ + ЕР + РD, отсюда

ЕР = АD – АЕ – РD = АD – 4/7(АВ+АD) –

(- 3/5АВ) = АD – 4/7АВ - 4/7АD +

+ 3/5АВ = АD(1- 4/7) + АВ(3/5 – 4/7) = 3/7

АD + 1/35 АВ = 1/35 а + 3/7 b.

Ответ: 1/35 а + 3/7 b

Задание:

1. Повторить:

2

Р

Е

D

С

В

А

1)

2)

3)

5)

6)

7)

4)

8)

9)

10)

- определение вектора;

- правила сложения и вычитания векторов;

- правило умножения вектора на число;

- правило умножения векторов;

2. Решить задания по теме, выбрав свой вариант.

1) По данным векторам а и b построить следующие векторы:

Номер

варианта

1

2

3

4

5

1

b - а

-b -2а

2b - а

- а - b

-а - 2b

2

½ а-2b

2а - ½b

½ а - b

а - ½b

-2а - ½b

3

-¼ а + 2b

-¼ b + 2а

¼ а + b

¼ b + а

-¼ b + а

Номер

варианта

6

7

8

9

10

1

b - 2а

2а - b

-2b - а

-2а - b

а - b

2

½ b -2а

2b - ½ а

- ½ а - b

- а - ½b

-½ а-2b

3

-¼ а - 2b

¼ b - 2а

-¼ а + b

¼ b + 2а

-¼ b - а

3) Для векторов а, b, с, изображенных на рисунке найдите сумму, а + b + с.

4) Начертите любой пятиугольник ABCDE. И найдите сумму

векторов AB, BC, CD, DE, EA.

5)

1)

Отрезок ВВ

1

– медиана треугольника АВС. Выразите векторы В

1

С,

ВВ

1

,ВА,ВС через х = АВ

1

, у = АВ.

2)

Дан параллелограмм АВСD. Выразить векторы АС, ВD и ВС через

векторы а = АВ и b = ВС.

3

3)

Отрезок АМ – медиана треугольника АВС. Выразите векторы ВМ, АМ,

СА через векторы х = ВА и у = МС.

4)

Дан параллелограмм АВСD. Выразить векторы АС, ВD и ВС через

векторы а = СВ и b = СD.

5)

Дан параллелограмм АВСD О – точка пересечения диагоналей.

Выразить векторы ВС, ВD и АС через векторы п = АО и а = АВ.

6)

Дан параллелограмм АВСD. Выразить векторы АС, ВD и ВС через

векторы а = АВ и b = DА.

7)

В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Выразить

через векторы а = АВ и b = АD векторы: DВ, ВС, ВА.

8)

Отрезок ВВ

1

– медиана треугольника АВС. Выразите векторы В

1

С,

ВВ

1

,ВА,ВС через х = ВВ

1

, у = АВ.

9)

Отрезок ВК – медиана треугольника АВС. Выразите векторы ВК, АК,

СА через векторы х = СВ и у = СК.

10)

Отрезок МN – средняя линия треугольника АВС. Выразите векторы

М N, СА, ВС через векторы х = ВМ и у = ВN.

6)

1)

Дано АВСD – ромб, Е принадлежит ВС, ВЕ : ЕС = 3 : 1, К – середина

DС, АВ = а, АD = b. Выразить АЕ, АК, КЕ через векторы а и b.

2)

Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма АВСD, причем

ВМ : МС = 3:1. Выразить векторы АМ и МD через векторы АD = а

и АВ = b.

3)

В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О, а М –

точка на стороне АD, такая, что АМ = ½ МD. Выразить через векторы

АD = х, АВ = у векторы: АС, СО, МС, ВМ.

4)

Отрезки АА

1

, ВВ

1

и СС

1

– медианы треугольника АВС. Выразите

векторы АА

1

, ВВ

1

, СС

1

через векторы а = АС и b = АВ.

5)

В параллелограмме АВСD на сторонах СD и АD отмечены

соответственно точки Р и К так, что СР : РD = 2 : 3, АК : КD = 1:2.

Выразить векторы СК и РК через векторы а = ВС и b = ВА.

6)

В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О, а М –

точка на стороне АD, такая, что АМ = ½ МD. Выразить через векторы

АD = х, АВ = у векторы: АО, DО, АМ, ОМ.

7)

В параллелограмме АВСD на стороне АВ отмечена точка К так, что

АК : КВ = 2:1, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы ОС

и СК через векторы а = АВ и b = АD.

8)

В параллелограмме АВСD на стороне ВС взята точка Р так, что

ВР : РС = 3:1, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы АО и

РА через векторы х = АВ и у = АD.

9)

На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки К и Е

так, что ВК = КС, СЕ : ЕD = 2:3. Выразите векторы АК, АЕ, КЕ через

векторы а = АВ и b = АD.

10)

На сторонах АВ и АD параллелограмма АВСD отмечены точки М и N

так, что АМ = МВ, АN : ND = 3:4. Выразите векторы СМ, СN, МN через

векторы х = СВ и у = СD.

7) Дан куб АВСDА

1

В

1

С

1

D

1

. Найдите разложение по векторам а = АВ,

4

b = АD, с = АА

1

векторов АС

1

, АВ

1

, D

1

С

1

, В

1

D

1

, ВС, С

1

С, В

1

D, В

1

О,

где О – центр куба.

Контрольные вопросы:

1) Векторные и скалярные величины.

2) Определение вектора.

3) Сумма векторов (правило треугольника, правило параллелограмма,

правило многоугольника)

4) Разность векторов.

5) Умножение вектора на число.

6) Угол между двумя векторами.

7) Скалярное произведение векторов.

Содержание отчета:

В тетради напишите название практической работы, цели, решение задач.

Критерии оценки:

«отлично» - выполнены все задания, даны ответы на все вопросы.

«хорошо» - выполнены задания 1- 6, даны ответы на все вопросы.

«удовлетворительно» - выполнены задания 1- 4, даны ответы на все

вопросы.

Сведения из теории.

Пусть даны точки А(а

1

;а

2

;а

3

) и В(b

1

;b

2

;b

3

), тогда:

1) вектор АВ имеет координаты (b

1

-а

1

;b

2

-а

2

;b

3

-а

3

);

2) длина вектора АВ=

;

3) координаты точки О, делящей отрезок АВ в отношении m : n, равны:

х =

+

, у =

+

, z =

+

,

В частном случае, когда О является серединой отрезка АВ формулы

упрощаются:

х =

, у =

, z =

.

4) Скалярное произведение векторов а (а

1

;а

2

;а

3

) и b (b

1

;b

2

;b

3

) равно:

а b = а

1

b

1

+ а

2

b

2

+ а

3

b

3.

5) Угол между векторами считается по формуле:

5

cos (a b) =

Пример. Даны точки А(2;-8;7) , В(-3;2;2), C(0;-2;3), D(4;0;-3). Найти:

- координаты векторов АВ,ВС,СD,АD:

АВ = (-3-2; 2-(-8); 2-7) = (-5; 10;-5);

ВС = (0 -(-3); -2-2; 3-2) = (3; -4;1);

СD = (4-0; 0-(-2); -3-3) = (4; 2;-6);

АD = (4-2; 0-(-8); -3-7) = (2; 8;-10).

- длины векторов АВ,ВС,СD,АD:

АВ =

=

=

;

ВС =

=

=

;

СD =

=

=

;

АD =

=

=

.

- координаты точки К середины отрезка АD:

Х

К

=

= 3; У

К

=

= -4; Z

К

=

= 2.

К (3;-4;2)

- расстояние от точки К до точки В:

|КВ| =

=

=

=

.

- скалярное произведение АВ и СD:

АВ · СD = (-5)·4 + 10·2 + (-5)·(-6) = -20 +20 + 30 = 30.

- косинус угла АВС:

ВА = (2-(-3);-8-2;7-2) = (5;-10;5); ВС = (3;-4;1)

cos (АВС) =

=

=

≈ 0,9592 .

- в треугольнике АВС угол между медианой ВМ и стороной АС:

Х

М

=

= 1; У

М

=

= -5; Z

М

=

= 5.

М(1;-5;5)

МВ = (-3-1;2-(-5);2-5) = (-4;7;-3); МС = (0-1;-2-(-5);3-5) = (-1;3;-2).

cos (ВМС) =

=

=

≈ 0,9644.

Угол ВМС примерно равен 15°.

- координаты четвертой вершины Р параллелограмма АВСР:

О – середина АС

Х

О

=

= 1; У

О

=

= -5; Z

О

=

= 5.

О – середина ВР

Х

О

=

= 1; У

О

=

= -5; Z

О

=

= 5, отсюда

Х

Р

= 5; У

Р

= -12; Z

Р

= 8.

Р(5;-12;8)

- в четырехугольнике АВСD угол между диагоналями АС и DB:

6

О – середина АВ

Х

О

=

=

;

У

О

=

= -3;

Z

О

=

= 4,5.

О – середина DN

Х

О

=

=

;

У

О

=

= -3; Z

О

=

= 4,5, отсюда

Х

N

= -5; У

N

= -6; Z

N

= 12.

АN = (-5-2;-6-(-8);12-7) = (-7;2;5); АС = ( 0-2;-2-(-8);3-7) = (-2;6;-4).

cos (NАС) =

=

=

≈ 0,09055.

Угол NАС примерно равен 85°.

Контрольные задания:

1) Найти координаты векторов АВ,ВС,СD,АD;

2) Найти длины векторов АВ,ВС,СD,АD;

3) Найти координаты точки К середины отрезка АD;

4) Найти расстояние от точки К до точки В;

5) Найти скалярное произведение АВ и СD;

6) Найти косинус угла АВС;

7) В треугольнике АВС вычислить угол между медианой ВМ и стороной АС.

8) Даны три последовательные вершины параллелограмма АВС, найти

координаты четвертой вершины Р.

9) В четырехугольнике АВСD найти угол между диагоналями АС и ВD.

1 вариант

А(5;7;-6) , В(4;0;-1), C(5;-2;0), D(-8;12;5)

2 вариант

А(-1;-2;3) , В(-3;12;0), C(-5;-5;-5),D(3;1;2)

3 вариант

А(4;1;-3) , В(-3;-1;0), C(0;-20;15), D(10;-3;14)

4 вариант

А(-2;7;11) , В(-3;4;1), C(-4;-4;0), D(3;8;-12)

5 вариант

А(-1;3;1) , В(-3;2;4), C(1;1;4), D(-1;-2;2)

6 вариант

А(2;5;-3) , В(-2;1;3), C(3;0;3), D(0;-3;-4)

7 вариант

А(4;6;-5) , В(6;-9;4), C(2;10;10), D(7;-5;-9)

8 вариант

А(9;-7;1) , В(5;-10;-4), C(1;3;3), D(-7;-1;4)

9 вариант

А(2;-2;-3) , В(1;0;2), C(2;-3;4), D(4;-3;5)

10 вариант

А(4;-3;12) , В(-3;2;-1), C(6;7;2), D(-1;-2;2)

Контрольные вопросы:

1) Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам ( по

трем некомпланарным векторам).

7

О

N

D

С

В

А

2) Определение базиса.

3) Сложение векторов, заданных своими координатами.

4) Вычитание векторов, заданных своими координатами.

5) Умножение вектора на число, если вектор задан своими координатами.

6) Декартова система координат.

7) Как найти координаты вектора и его длину?

8) Как найти координаты точки, делящей отрезок в отношении m : n?

9) Как найти скалярное произведение векторов и косинус угла между ними?

Содержание отчета:

В тетради напишите название практической работы, цели, решение задач.

Критерии оценки:

«отлично» - выполнены все задания, даны ответы на все вопросы.

«хорошо» - выполнены задания 1-8, даны ответы на все вопросы.

«удовлетворительно» - выполнены задания 1-6, даны ответы на все вопросы.

8