Урок по теме: «Неравенства. Решение прикладных задач».

Учитель: Брызгалова И.Н. Школа: МОУ СОШ с.Фёдоровка Фёдоровского

района, Саратовской области.

Предмет: математика.

Учебный план – 5 часов в неделю ( из них 3 ч. – алгебра, 2 ч. – геометрия).

Класс: 8.

Тема урока: Итоговое повторение темы «Неравенства. Решение

прикладных задач». (2-х часовой – урок).

Тип урока: урок повторения. Обобщения и систематизации знаний.

Класс сформирован из учащихся двух соседних школ, в которых не было

постоянного учителя математики. В результате чего у детей слабые знания

по предмету.

Цели урока:

дидактическая: повторить сравнение чисел и выражений, определение и

свойства числовых неравенств, закрепить навыки доказательства неравенств;

повторить свойства равносильности, которые используются при решении

неравенств, и закрепить их значение при решении неравенств. Научить

применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня

сложности ( повторить способы решения задач с помощью неравенств ),

стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами

решения;

развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный

интерес, продолжать формирование математической речи и графической

культуры, вырабатывать умение анализировать и сравнивать;

воспитательная: приучать к эстетическому оформлению записи в тетради,

умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и

трудолюбие.

PAGE \* MERGEFORMAT 26

Ход урока:

На доске тема урока: Итоговое повторение темы: «Неравенства. Решение

прикладных задач».

Эпиграф к уроку (на доске):

«Твой ум ведёт тебя в обход,

Ища проторенных тропинок.

Но ты вступи с ним в поединок:

Дать радость может только взлёт».

( Фирдоуси ).

I .Организационный момент.

Обстановка у нас не привычная,

Но работаем как обычно,

Приложим все старания

И получим новые знания.

Проверим, всё ли на партах в порядке,

Готовы ль к работе ручки, тетрадки…

Я – ваш учитель, вы улыбнитесь.

Здравствуйте, мои дорогие, садитесь.

- На доске записана тема урока.

- Ребята, как вы думаете, чем мы сегодня будем заниматься на уроке?

- Как вы считаете, пригодиться ли вам эта тема?

- Где, по вашему мнению, тема «Неравенство» может вам пригодиться?

- Как вы считаете, хорошо ли вы её знаете?

PAGE \* MERGEFORMAT 26

- Сегодня на уроке мы с вами повторим основные свойства неравенств,

постараемся закрепить навыки доказательства неравенств и прорешаем

интересные прикладные задачи, которые могут встретиться на итоговой

аттестации. Поэтому, прошу вас тетрадочки сохранить.

Презентация (итоговое повторение темы «Неравенства. Решение

прикладных задач»).

Ни костяшек ни ручек, ни мела –

Устный счёт. Мы творим это дело

Только силой ума и души!

Числа сходятся где –то во тьме,

И глаза начинают светиться!

И кругом только умные лица.

Устный сёт! Мы считаем в уме.

III Устная работа

1.

Решите неравенство

а) 5x<20

б) 8x>-16

в) -4x 1

2.

Назвать промежутки

а)

x

б)

x

в)

x

Г)

x

PAGE \* MERGEFORMAT 26

1

5

8

-1

1

10

3.

При каких значениях переменной имеет смысл выражение

а)

√

2 X

−

5

б)

√

1

−

2 y

в)

√

8

−

a

2

III Математический диктант.

Диктант выполняется под копирку.

Два ученика выполняют задание на развороте доски для проверки

правильности выполнения диктанта.

(Проведённые повторение, устная работа и диктант позволят устранить

пробелы в знаниях учащихся, ещё раз напомнить решение неравенств).

Математический диктант

1.

Запиши числовой промежуток, служащий решением неравенства.

x

≥

7 (x 5)

2.

Решите неравенство

4(x+1)

4x+1 (2x+1 2(x-1))

3.

Решите систему неравенств

6x>x+8 3x>x-2

2x+7<0 2x+8<0

4.

Является ли число 9(-5) решением системы

2x>2 3x<6

x>3 x<3

-x<4 -2x>2

5.

Решите неравенство

5<2x+1<9

(5<3x-1<8)

PAGE \* MERGEFORMAT 26

( Взаимопроверка)

- Чтоб избежать нам в математике

Обидных неудач,

Решим мы с вами серию

логических задач.

Задача. Одно из натуральных чисел на 4 меньше другого. Причем квадрат

меньшего из чисел не больше, чем удвоенное второе число. Найдите меньшее

число из данных чисел.

1.

Что надо сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? (Построить ее

математическую модель.)

х

2

≤ 2(х + 4).

2.

Что представляет математическая модель этой задачи? (Неравенство).

3.

Что такое неравенство?

4.

Какие виды неравенств вы знаете? (Линейные неравенства,

квадратные неравенства, рациональные неравенства, неравенства,

содержащие знак модуля).

5.

Что называется решением неравенства? (Значение переменной х,

которое обращает неравенство f(x) >0 в верное числовое неравенство,

называют решением неравенства).

6.

Что значит решить неравенство? (Решить неравенство, значит найти

все его решения или доказать, что их нет).

7.

Какие правила используют при решении неравенств? (Правила

равносильных преобразований).

8.

К какому виду относится данное неравенство? (Квадратное)

9.

Какие методы решения квадратных неравенств вы знаете? Решите

полученное неравенство.

PAGE \* MERGEFORMAT 26

Самостоятельная работа.

(Текстовые задачи традиционно вызывают затруднения у школьников,

многим из которых не удается правильно составить уравнение или

неравенство по условию задачи. Учителю математики в такой ситуации

почти невозможно организовать самостоятельную работу школьников,

постоянно нуждающихся в указаниях и подсказках. Поэтому на уроках я

предлагаю таким ученикам карточки с задачами, которые сопровождаются

указаниями, следуя которым даже слабый ученик сможет получить

правильный ответ, а для сильных учеников предусмотрены дополнительные

вопросы ).

Задача. Сплав олова и меди, масса которого 16 кг, содержит 55% олова.

Сколько килограммов олова нужно добавить, чтобы повысить содержание

олова в сплаве до 60%?

Решение.

Обозначив искомую массу олова буквой х, выразите:

а) сколько килограммов олова было в сплаве сначала;

б) сколько килограммов олова стало в сплаве после добавления;

в) массу полученного сплава;

г) отношение массы олова к массе полученного сплава.

Запишите уравнение, решите его и ответьте на вопрос задачи.

Дополнительные вопросы.

1.

Какова масса меди, содержащейся в сплаве?

PAGE \* MERGEFORMAT 26

2.

Сколько килограммов меди следовало бы добавить в первоначальный

сплав, чтобы содержание меди составило 50%?

(Задачи на уроке предлагаются по нарастающему уровню сложности).

Дифференцированное решение задач ( из предложенных задач выбрать одну

и решить самостоятельно) – проверка индивидуальная в виде собеседования

на месте ученика.

Задача 1. Две трубы, действуя вместе в течение одного часа, наполняют

водой 3/8 бассейна. Если сначала первая труба наполнит одну восьмую часть

бассейна, а затем вторая при выключенной первой доведет объем до 3/8

бассейна, то на это потребуется 2,5 часа, если первую трубу включить на час,

а вторую – на полчаса, то они наполнят бассейн более чем на четверть. За

какое время наполняет бассейн каждая труба?

Ход решения.

1. Составление математической модели.

х л/час – производительность первой трубы;

у л/час – производительность второй трубы;

V л – объем бассейна.

Тогда условие задачи можно записать следующим образом

PAGE \* MERGEFORMAT 26

t = V/x, T = V/y.

Тогда систему можно переписать так

Математическая модель готова.

2. Работа с математической моделью.

1) Из второго уравнения имеем t = 20 – 2T.

2) Подставляем в первое уравнение, получаем уравнение относительно T

3T

2

- 34 T + 80 = 0.

Корни данного уравнения: T = 8 или T = 10/3.

3) Тогда решениями данной системы первых двух уравнений являются

PAGE \* MERGEFORMAT 26

Последнему неравенству системы удовлетворяет лишь первое решение.

3. Ответ на вопрос задачи.

Первая труба заполнит бассейн за 4 часа, а вторая – за 8 часов.

Ответ: 4 часа, 8 часов.

Задача 2. Из города А в 9 часов утра выехал велосипедист и двигался с

постоянной скоростью 12 км/ч. Спустя 2 часа вслед за ним из А выехал

мотоциклист, который при начальной скорости 22 км/ч двигался

равнозамедленно, так, что за час его скорость уменьшается на 2 км/ч.

Автомобилист, едущий им навстречу в город А с постоянной скоростью 50

км/ч, сначала встретил мотоциклиста, а потом велосипедиста. Успеет ли

автомобилист к 19 часам этого дня прибыть в город А?

Ход решения.

1. Составление математической модели.

По условию задачи автомобилист встретит сначала мотоциклиста, а затем

велосипедист. Следовательно, мотоциклист некоторый участок пути пройдет

впереди велосипедиста. Именно на этом участке пути произойдут их встречи

с автомобилистом. Найдем этот участок.

Пусть х ч – время, отсчитываемое от 9 часов утра, тогда

12х км – путь пройденный велосипедистом,

PAGE \* MERGEFORMAT 26

км – путь пройденный мотоциклистом.

Приравнивая эти два пути, найдем соответствующие значения х, при

которых мотоциклист и велосипедист обгонят друг друга.

12 х =

2. Работа с математической моделью

12 х =

t2 – 14t + 48 = 0,

t1 = 6, t2 = 8.

3. Ответ на вопрос задачи.

Следовательно, мотоциклист обгонит велосипедиста в 15 часов дня на

расстоянии 72 км от города А, а затем велосипедист обгонит мотоциклиста в

17 часов на расстоянии 96 км от города А. Итак, автомобилист, двигающийся

со скоростью50 км/ч, ранее 17 часов был на расстоянии менее 96 км от

города А, следовательно, он успеет к 19 часам прибыть в город А.

Ответ. Успеет.

Задача 3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 18 км, в

8 часов выходит пешеход, в 11 часов выезжает велосипедист. Известно, что

пешеход прибыл в пункт В не позже, чем в 12 часов 30 минут, а

велосипедист прибыл в пункт В не позже пешехода. Считая скорости

пешехода и велосипедиста постоянными, определить скорость

велосипедиста, если она не более, чем на 8 км/ч превышает скорость

пешехода.

PAGE \* MERGEFORMAT 26

Ход решения.

1. Составление математической модели.

Необычность условий этой задачи состоит в том, что на их основе нельзя

составить ни одного уравнения, а решение сводится к рассмотрению системы

неравенств.

х км/ч – скорость велосипедиста,

а км/ч – разность скоростей велосипедиста и пешехода,

(х – а) км/ч – скорость пешехода. Тогда получим

2. Работа с математической моделью.

Из второго неравенства, учитывая первое, получим

х ≥ а + 4.

Рассмотрим третье неравенство.

PAGE \* MERGEFORMAT 26

Корни квадратного трехчлена х2 – ах – 6а

есть х1,2 =

Применяя метод интервалов с учетом первого неравенства, получим

a < x <

Объединяя результаты, имеем, что значение х должно удовлетворять

следующему неравенству

а + 4 ≤ х ≤

Чтобы существовали такие значения х, необходимо и достаточно, чтобы

выполнялось неравенство

а + 4 ≤ х ≤

или

а + 8 ≤

,

откуда а ≥ 8.

Учитывая, что по условию а ≤ 8, получим, что а = 8. При этом последнее

неравенство для х дает

PAGE \* MERGEFORMAT 26

откуда х = 12.

3. Ответ на вопрос задачи.

Скорость велосипедиста 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч

Задача 4. На реке, скорость течения которой равна 4 км/ч, в направлении её

течения расположены пристани А, В, С, причем расстояние от А до В вдвое

меньше, чем расстояние от В до С. От пристани В в один и тот же момент по

направлению к пристани С отправлены плот (плывущий относительно

берегов со скоростью течения реки) и катер. Дойдя до пристани С, катер

разворачивается и движется по направлению к пристани А. Найти все

значения собственной скорости катера (т. е. скорости катера в стоячей воде),

при которых катер приходит в пункт А не раньше, чем плот приходит в пункт

С.

Ход решения:

1. Составление математической модели.

Пусть х км/ч – скорость катера в стоячей воде,

у км - расстояние от пристани А до пристани В.

ч – время движения катера из В в С,

- время движения катера из В в С и обратно из С в А против

течения.

PAGE \* MERGEFORMAT 26

По условию

2. Работа с математической моделью.

Применим метод интервалов, учитывая, что x > 4.

Получим, что 4 < x ≤ 12.

3. Ответ на вопрос задачи.

Собственная скорость движения катера в стоячей воде должна быть в

интервале (4; 12] км/ч.

Ответ: (4; 12] км/ч.

Физкультминутка:

- Встаньте. Улыбнитесь. Повернитесь к соседу по парте. Передайте своему

товарищу мысленно и через рукопожатие положительные эмоции,

поделитесь капелькой теплоты. Добра.

PAGE \* MERGEFORMAT 26

Я хочу, чтоб добро к тебе пришло

Как свет весенний, как тепло костра:

Пусть для тебя источником добра

Не станет то, что для другого зло.

Садитесь.

- Не нужно нам владеть клинком,

Не ищем славы громкой.

Тот побеждает, кто знаком

С искусством мыслить тонко.

(Г. Уордсворт)

Мы продолжаем наш урок и к вашему вниманию -

Задача Дидоны

(Задача Дидоны, или классическая изопериметрическая задача,

формулируется следующим образом: среди замкнутых плоских кривых,

имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную

площадь).

Эту задачу связывают с именем Дидоны - основательницы города Карфаген и

его первой царицы. Согласно легенде, финикийская царевна Дидона

(Элисса), спасаясь от преследований своего брата, царя Тира, отправилась на

PAGE \* MERGEFORMAT 26

запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище. Ей

приглянулось место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона

вступила в переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли.

Запросила она совсем немного - столько, сколько можно окружить бычьей

шкурой. Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка состоялась, и тогда

хитроумная Дидона изрезала шкуру быка, которую ей предоставили местные

жители, на узкие полоски, связала их и окружила территорию, на которой

основала крепость, а вблизи от нее - город Карфаген.

Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то

задачу, стоящую перед Дидоной, можно сформулировать так: какой формы

должна быть кривая длины

, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой

кривой и заданной линией

, была наибольшей. В предположении, что

-

прямая линия, решением задачи является полуокружность длины

.

Решение частного случая задачи Дидоны, когда требуется определить, какой

из прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь, было

известно еще математикам Древней Греции. Более того, эта геометрическая

задача считается самой древней задачей на экстремум. Решение этой задачи

приведено в VI книге "Начал" Евклида, где доказывается, что если

рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то

площадь квадрата будет больше площади прямоугольника.

Решение задачи Дидоны для прямоугольников и некоторых других частных

случаев этой задачи легко получить с помощью неравенства Коши, которое

устанавливает, что среднее арифметическое

неотрицательных чисел не

меньше их среднего геометрического:

Равенство достигается только при

.

PAGE \* MERGEFORMAT 26

Пример № 1(задача Дидоны для прямоугольников). Найдем длины сторон

прямоугольника с периметром

, имеющего наибольшую площадь.

Обозначим длины сторон прямоугольника через

и

, а его площадь -

через

. Тогда математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

Воспользуемся неравенством Коши при

:

(1)

Поскольку

, то из (1) следует:

(2)

Неравенство (2) обращается в равенство при

. Таким образом,

прямоугольником наибольшей площади, имеющим заданный периметр

,

является квадрат, длина стороны которого равна

.

(Остальные задачи Дидоны: №2, №3, №4, которые у вас на партах в виде

раздаточного материала, мы рассмотрим на дополнительных занятиях.)

Пример № 2(обратная задача Дидоны для прямоугольников). Найдем длины

сторон прямоугольника с площадью

, имеющего наименьший периметр.

Используем обозначения, введенные в примере 1. Тогда математическая

модель задачи примет вид:

PAGE \* MERGEFORMAT 26

при ограничениях:

Из неравенства (1) вытекает, что

Следовательно,

. Это неравенство обращается в

равенство при

. Таким образом, прямоугольником

наименьшего периметра, имеющим заданную площадь

, является квадрат,

длина стороны которого равна

.

Пример № 3 (задача Дидоны для параллелепипедов). Площадь поверхности

параллелепипеда равна

. Определим, при каких длинах сторон его объем

будет максимальным.

Обозначим длины сторон параллелепипеда через

,

и

, а его объем -

через

. Тогда математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

(3)

Воспользуемся неравенством Коши при

для чисел

,

и

:

(4)

PAGE \* MERGEFORMAT 26

Неравенство (4) обращается в равенство при

, откуда

следует:

. Из (3) имеем:

. При этом

максимальный объем

Таким образом, параллелепипед максимального объема с площадью

поверхности

имеет форму куба со стороной

. Аналогично можно

показать, что параллелепипед объема

c минимальной площадью

поверхности имеет форму куба.

Пример № 4(задача Дидоны для треугольников). Найдем длины сторон

треугольника с периметром

, имеющего наибольшую площадь.

Обозначим длины сторон треугольника через

,

и

. Площадь

треугольника

вычислим по формуле Герона. Математическая модель

задачи примет вид

(5)

при ограничениях:

(6)

Воспользуемся неравенством Коши при

для чисел

,

,

:

Отсюда следует

PAGE \* MERGEFORMAT 26

(7)

Из (5) получим

Неравенство (13) обращается в равенство при

, т. е.

при условии

. Из (6) получим:

Таким образом, треугольником с периметром

, имеющим наибольшую

площадь, является равносторонний треугольник со стороной

.

На следующем этапе нашего урока мы продолжим решать задачи, опираясь

на методы доказательств неравенств.

- Давайте внимательно прочитаем условие задачи и вспомним методику

работы с задачами такого типа.

Задача №1.

Требуется огородить забором длины 2а земельный участок, имеющий форму

прямоугольника. Какой наибольший по площади участок может быть

огорожен забором длины 2а?

(У доски решает ученик вместе с классом)

Методика работы с задачей.

I. Этап. Анализ условия. По условию известна длина забора 2а,

которым надо огородить земельный участок, имеющий форму

PAGE \* MERGEFORMAT 26

прямоугольника. Неизвестно, какой наибольший по площади участок

может быть огорожен забором данной длины.

- Что же мы с вами будем находить? ( надо найти площадь S= ху

участка прямоугольной формы и выяснить, при каких значениях х и у

значение S – наибольшее).

II.Этап. Моделирование.

Пусть х и у – соответственно длина и ширина прямоугольника ABCD;

S= ху – его площадь.

Согласно условию

2х+ 2у= 2а; х+у= а.

Теперь наша задача с вами выяснить, при каких значениях х, у

произведение ху будет наибольшим, если х+ у= а, где а- данное число.

III. Этап. Решение задачи внутри полученной математической

модели:

у= а – х; S= х(а – х).

Установить, при каких значениях х и а –х S принимает наибольшее

значение.

На данном этапе выделим два уровня рассуждений:

- наглядный;

- доказательный ( строгий).

Наглядный уровень.

1). Допустим, что имеем не переменные х и у, а конкретное число 8 ( чётное);

его можно представить в виде суммы двух чисел: 1+7; 2+6; 3+5; 4+4.

2). В каждом из случаев найдём произведение: 7, 12, 15, 16.

PAGE \* MERGEFORMAT 26

3) Вывод: произведение наибольшее, если числа равны.

Аналогично рассуждение проводят, если число нечётное.

Доказательный ( строгий) уровень.

Дано: х+ у= а.

Доказать, что произведение ху будет наибольшим тогда и только тогда, когда

х = у =

а

2

.

(Для доказательства достаточно показать, что любое произведение x

n,

y

n

,

меньше xy при x= y)

Доказательство.

1. Возьмём любые значения переменной х

n

, у

n

, х

n

=

а

2

+ в; тогда

У

n

= а - (

а

2

+

в

) =

а

2

- в.

2. Найдём произведение

Х

n

у

n

= (

а

2

+ в)(

а

2

- в) =

а

4

- в

2

.

3. Найдём произведение

xу =

a

4

при x= y =

a

2

4.Первый вывод:

а

4

- b <

a

4

, т.е. x

n

y

n

< x y.

5. Второй вывод: так как х

n,

y

n

произвольные значения, то S = xy

наибольшее тогда, когда x = y.

6. Окончательный вывод: произведение двух чисел будет наибольшим

только тогда, когда х = у.

-Какие вопросы по решению задачи?

PAGE \* MERGEFORMAT 26

Физкультминутка.

Задача №2 – это ваше Д/з( учитель разбирает с учениками условие задачи и

указывает на что необходимо обратить внимание при решении).

На территории города три поликлиники, которые расположены так, что

образуют вершины некоторого треугольника. Для наиболее целесообразного

прикрепления жителей к той или иной поликлинике требуется разбить всю

территорию города на три района так, чтобы всем домам, расположенных в

пределах одного итого же района, соответствовала одна и та же ближайшая к

ним поликлиника.

Самостоятельная работа.

Задача. Две реки имеют одинаковую длину L ( км). Скорости течения рек

V

1

и V

2

различны: V

1

> V

2

. Докажите, что вторая река выгоднее для

эксплуатации пароходами. ( Товарные перевозки на реках примерно

одинаковы, а скорость движения парохода V (км/ч).

Решение.

I этап. Анализ условия. По условию известны скорости течения рек, длина

рек, скорости движения парохода. Итак, мы располагаем всеми

необходимыми данными для доказательства того, что вторая река выгоднее

для эксплуатации пароходами.

II этап. Моделирование.

1. Найдём время, за которое пароход проходит первую реку в том и в

другом направлениях:

PAGE \* MERGEFORMAT 26

t

1

+ t

2

=

l

v

+

v

1

+

l

v

−

v

1

=

2 lv

v

2

−

v

1

2

.

2. Найдём время, за которое пароход проходит вторую реку в том и

другом направлениях:

t

/

1

+ t

/

2

=

l

v

+

v

2

+

l

v

−

v

2

=

2 lv

v

2

−

v

2

2

.

3.

Доказать:

2 lv

v

2

−

v

2

2

<

2 lv

v

2

−

v

1

2

при

v

1

>

v

2

.

III этап. Решение задачи внутри полученной математической модели. Нужно

доказать справедливость неравенства

2 lv

v

2

−

v

2

2

<

2 lv

v

2

−

v

1

2

при

v

1

>

v

2

.

Доказательство. Сравним выражения

2 lv

v

2

−

v

2

2

и

2 lv

v

2

−

v

1

2

.

Так как числители равны, то нужно сравнить только знаменатели.

2. по условию

v

1

>

v

2

, значит,

v

1

2

−

v

2

2

, следовательно,

v

2

−

v

2

2

>

v

2

−

v

1

2

.

Вывод: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой

знаменатель меньше, т.е.

2 lv

v

2

−

v

1

2

>

2 lv

v

2

−

v

2

2

или

2 lv

v

2

−

v

2

2

<¿ ¿

2 lv

v

2

−

v

1

2

.

IV этап. Осмысление полученного результата.

Вторая река ( при указанных условиях) действительно выгоднее для

эксплуатации пароходами.

(Проверка с места, с объяснениями).

Доска бела от мела,

Рука устала, затекла спина,

Мы друг на друга смотрим очумело,

И всё-таки задача решена!

PAGE \* MERGEFORMAT 26

Додумались! Добились! «Раскололи»!

Намаялись, однако же, смогли!

Забыли о кино и о футболе

Звонку не рады – до чего дошли!

Подведение итогов.

1.

Чем мы с вами сегодня занимались на уроке?

2.

Какие вопросы повторили?

3.

Какие задания были выполнены на уроке?

4.

Какой вывод можно сделать по сегодняшнему уроку?

Рефлексия: заполнение карточек- заготовок с вопросами:

- Я хорошо понял….

- Я не всё понял……

- я не понял…..

5.Комментирование оценок.

Урок окончен. Спасибо за урок. До свидания.

PAGE \* MERGEFORMAT 26

Список использованных источников.

1.

Алгебра

и

начала

анализа.

10

класс.

В

2ч.

Задачник

для

общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ Мордкович А.Г.,

Денищева Л.О., Звавич Л.И., Корешкова Т.Н. и др; Под ред. Мордковича А.Г.

- М.: Мнемозина, 2007 – 336 с.

2.

Алгебра

и

начала

анализа.

11

класс.

В

2ч.

Задачник

для

общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ Мордкович А.Г.,

Денищева Л.О., Звавич Л.И., Корешкова Т.Н. и др; Под ред. Мордковича А.Г.

- М.: Мнемозина, 2007 – 264 с.

3.

Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк./ Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков

К.И., Суворова С.В.; Под ред. Теляковского С.А. – М.: Просвещение, 2006. –

272 с.

4.

Азевич А.И. Система подготовки к единому государственному экзамену.

Журнал «Математика в школе» – М.,2003. № 4. – С. 32 – 36.

5.

Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. – М.: Наука, 1975. – 154 с.

6.

Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. – М.: Мир, 1965. – 223 с.

7.

Блох А. Ш., Трухан Т.Л.. Неравенства . – Минск.: Народная асвета, 1972. –

215 с.

8.

Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.:Наука,1986. –

320 с.

9.

Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8

– 9 классов. М.: Просвещение, 1992. – 271с.

10.

Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII классы. Пособие для

учителей. М.: Просвещение, 1982. – 240 с.

11.

Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способ получения и примеры

PAGE \* MERGEFORMAT 26

применения. 10 – 11 классы. Элективные курсы. Учебное пособие для

профильных классов общеобразовательных учреждений. М.: Дрофа, 2005. –

254с.

12.

Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способ получения и примеры

применения.

10

–

11

классы.

Элективные

курсы.

Методические

рекомендации. М.: Дрофа, 2006. – 159 с.

13.

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. М.:

Просвещение, 1990. – 416 с.

14.

Дорофеев Г.В., Кузнецов Л.В., Седова Е.А. Алгебра и начала анализа. 10

класс. Учебник. М.: Просвещение, 2007. – 357 с.

15.

ЕГЭ. Математика. Типовые тестовые задания/ Корешкова Т.А., Глазков

Ю.А., Мирошин В.В., Шевелева Н.В. - М.: Экзамен, 2008. – 78 с.

16.

Кипнис И.М. Сборник прикладных задач на неравенства: Пособие для

учителей. – М.: Просвещение, 1964. – 179 с.

17.

Коровин П.П. Неравенства. – М.: Наука, 1966. – 215 с.

18.

Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для

учителей. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Сорокин Ю.И., Федин Н.Г. Под

редакцией Собонина М.В. В двух частях. М.: Просвещение, 1978. – 320 с.

19.

Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 2. Пособие для

учителей. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Сорокин Ю.И., Федин Н.Г. Под

редакцией Собонина М.В. В двух частях. М.: Просвещение, 1978. – 351 с.

20.

Математика. ЕГЭ: Сборник заданий и методических рекомендаций/ Глазков

Ю.А., Варшавский И.К., Гаиашвили М.Я. М.: Экзамен, 2008. – 381 с.

21.

Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2

частях. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный

уровень) М.: Мнемозина, 2007 – 424 с.

22.

Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начало анализа. 11 класс. В 2

частях. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный

уровень) М.: Мнемозина, 2007 – 287 с.

23.

Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и

PAGE \* MERGEFORMAT 26

начала анализа. 10 класс. Учебник. М.: Просвещение, 2007. – 432 с.

24.

Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. М.: Наука, 1967 – 275 с.

25.

Сборник задач по математики для поступающих в вузы/ Егерев В.К., Зайцев

В.В., Кордемский Б.А., Маслова Т.Н. и др.; Под редакцией Сканави М.И. М.:

Оникс 21 век, Мир и Образование, 2004. – 608 с.

26.

Петров В.А., Элементы финансовой математики на уроке. – М., 2002. - № 8. –

38 - 42.

27.

Фадеев Д.К., Ляшенко Н.Н., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Задачи по

алгебре для 6 – 8 классов. М.: Просвещение, 1988. – 192 с.

28.

Фоминых Ю.В. Доказательство неравенств. Журнал «Математика в школе»

– М., 1998. - № 6. – 44 – 46.

29.

Фридман

Л.М.,

Турецкий

Е.Н.

Как

научится

решать

задачи.

М.:

Просвещение, 1989. –208 с.

30.

Шарыгин И.Ф., Голубь В.И. Факультативный курс по математики 11 класс.

Решение задач. М.: Просвещение, 1991. – 384 с.

PAGE \* MERGEFORMAT 26