Математическое моделирование при решении текстовых задач.

Учитель математики, высшей категории Рулева Людмила Михайловна,

МБОУ СОШ №13 г. Обнинска, Калужской области.

Математика - это искусство называть разные вещи одним

и тем же именем. (А. Пуанкаре)

Моделирование - важный метод научного познания и сильное средство

активизации учащихся в обучении. Метод математического моделирования

позволяет

формировать

мировоззрение

школьников,

создавать

у

них

представления о современных достижениях, возможностях и широте

математического способа познания действительности, вооружает умениями

добывать и обрабатывать информацию. Развитие у учащихся правильных

представлений о природе математики и отражении математической наукой

явлений и процессов реального мира является программным требованием к

обучению математике. Доминирующим средством реализации этой цели

является метод математического моделирования.

Применительно к обучению математике удобно воспользоваться

определением моделирования, которое предлагает И. Г. Обойщикова, и

будем понимать под моделированием обобщенное интеллектуальное умение

учащихся, состоящее в замене математических объектов, их отношений,

способов деятельности моделями в виде изображений отрезками, числовыми

лучами, схемами, значками .

Для моделирования привлекаются различные математические объекты:

числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции,

уравнения

алгебраические

или

дифференциальные

и

их

системы,

неравенства, системы неравенств (а также неравенств и уравнений), ряды,

геометрические фигуры, разнообразные графосхемы, диаграммы Венна.

В школьном курсе математики работа с математическими моделями

начинается на ранних этапах обучения. Используя математические модели и

моделирование, школьники решают учебные и практические задачи. В новых

учебниках Н.Я. Виленкина понятие «математической модели» вводится уже

в 5 классе.

В действующих нормативных документах системы образования

(ФГОС

ООО,

ФГОС

СОО)

учащиеся

должны

уметь;

выявлять

и

характеризовать существенные признаки объектов (явлений); с учѐтом

предложенной

задачи

выявлять

закономерности

и

противоречия

в

рассматриваемых

фактах,

выявлять

дефициты

информации,

данных,

необходимых

для

решения

поставленной

задачи;

делать

выводы,

формулировать гипотезы о взаимосвязях; самостоятельно выбирать способ

решения учебной задачи. Одним из индикаторов овладения учащимися

указанными умениями являются текстовые

задачи

.

Учащиеся основной и

старшей школы испытывают затруднения при решении текстовых задач,

демонстрируют низкий уровень умений анализировать условие задачи,

составлять

математическую

модель,

находить

обоснованный

ответ,

используя изученные математические методы.

Это связано с тем, что

текстовые задачи по сравнению с другим изучаемым в школе учебным

материалом имеют особенность: их формулировка даѐтся на естественном

языке (языке, используемом для общения) и предполагается, что условие

будет

переформулировано

учащимся

на

математическом

языке

с

последующим анализом и, как правило, получением числового результата.

Такой перевод какой-то конструкции с одного языка на другой имеет

отношение к широко применяемому методу исследования – моделированию.

При этом форма моделей может быть различной: модельная схема, знаковая

модель, графическая, образная и т.д.

А.Г.Мордкович пишет: "Нам нужно

научиться описывать реальные сиуации словами (словесная модель),

алгебраически (алгебраическая модель), графически (графическая модель).

Бывают еще геометрические модели реальных ситуаций — они изучаются в

курсе

геометрии.

Графические

модели

также

иногда

называют

геометрическими, а вместо термина "алгебраическая модель" используют

термин "аналитическая модель". Все это — виды математических моделей."

Рассмотрим алгоритм учебного математического моделирования для

решения текстовой задачи.

Этап 1. Смысловое чтение условия задачи. На этом шаге происходит

ознакомление с текстом условия задачи, составлением образа описываемой

ситуации, соотнесением фраз условия задачи с математическими понятиями

и математическими соотношениями, известными учащемуся.

Этап 2. Анализ условия задачи, выделение ключевых фраз

.

Этап 3. Формализация предмодели и построение математической

модели. Перевод текста условия задачи на математический язык всегда

сопровождается указанием искомой величины, то есть указанием цели.

Бывает так, что искомая величина не входит в набор введенных при

составлении соотношений переменных, а выражается через них в виде какой-

то их комбинации.

Этап 4. Внутримодельное решение. На этом шаге в решении текстовой

задачи выбираются математические ресурсы и решается математическая

задача, полученная на предыдущем этапе.

Этап 5. Интерпретация результата решения математической модели. На

этом этапе решения задачи полученный на этапе 4 результат переводится на

естественный язык, т.е. происходит возвращение к фабуле задачи и

записывается ответ на вопрос задачи

Этап 6. Проверка результата на корректность.

Эти этапы хорошо видны при решении задач на движение.

Задача 1. Два автомобиля выехали одновременно из пункта А в пункт В,

расстояние между которыми 540 км. Первый автомобиль ехал со скоростью,

на 10 км/ч большей, чем второй, и прибыл в пункт В на 45 мин раньше

второго. Найдите скорость второго автомобиля.

Задача 2. . Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля.

Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую

половину пути со скоростью 50 км/ч, а вторую половину – со скоростью, на

15 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в B

одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Метод математического моделирования является мощным

инструментом для исследования различных процессов и систем. Например,

для решения задач экономического характера.

Задача 3. В первом магазине цену снизили на 10%, а затем еще на 10%. Во

втором магазине цену аналогичного товара сразу снизили на 20%. В каком из

этих двух магазинов товар стал дешевле?

Задача 4. Например, банк предлагает взять 1.000.000 руб. под очень хорошую

ставку - 15% годовых на 5 лет. Предлагаю детям ответить на вопрос, возьмут

ли они такой кредит и какую сумму надо будет вернуть банку.

Понимание и структурирование данных условия задачи – важный шаг

на пути правильного ее решения. Для упорядочивания данных условия

задачи полезно использовать таблицы. С помощью их можно выработать

единый алгоритм решения большинства банковских задач.

Задача 5.1 января 2025 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в

кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего

месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть

увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платёж.

На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять

кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей?

Конечно, дети часто прибегают к помощи ИИ или решебников. Даю им

рекомендации:

1.

Найти и проверить ответ для задачи

. Не уверены в решении? Ответ

не сходится с учебником? Посмотрите решение с сайта.

2.

Найти и проверить решение задачи

.

Вы сами умеете решать задачи,

но лучше убедиться, что задачи решены верно. Это легко сделать -

скачайте решения нужных задач, сравните подходы, выбор формул,

решения, вычисления.

3.

Найти похожую задачу и решить свою

. Не всегда можно найти

точно такую же задачу, но часто - очень похожую.

Для решения задач на уроке можно использовать нейросети.

Рассмотрим несколько примеров того, как можно использовать нейросети на

уроке математики.



Для этого достаточно сравнить решение задачи в классе и в нейросети.



Удобно пользоваться нейросетью и для решения геометрических задач.



Пример пронта: Сгенерируй для задачи 3 последовательные подсказки.

1. Первая подсказка должна быть общим направлением мысли.

2. Вторая — указывать на конкретную формулу или свойство.

3.Третья — предлагать ввести переменные.`



Таким образом, использование искусственного интеллекта (ИИ) в

образовании может значительно повысить качество обучения и

улучшить понимание сложных тем. Суть работы нейронных сетей —

смоделировать способ решения задачи, присущий людям.

Некоторые рекомендации для учителя: стимулировать учеников к

поиску нестандартных решений задач, включать в уроки практические

задания, связанные с реальными инженерными проблемами,

использовать проектную деятельность и математическое

моделирование для закрепления теоретических знаний, применять

современные образовательные технологии для повышения интереса к

математике и инженерии.

Список источников:

1.

Математический форум (Итоги науки. Юг России). 2023. с. 16–17.

Абатурова В

.

С., Дятлов В. Н. Математическое моделирование в обучении

школьников решению мотивационно-прикладных задач .

2.

Обойщикова, И.Г. Обучение моделированию учащихся 5



6 классов

при изучении математики.



Саранск, 2011.



215 с.

3.

Горстко, А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием.



М.:

Знание, 2011.



160 с

4.

Математика. Профильный уровень. ЕГЭ-2025. 40 тренировочных

вариантов. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова – Ростов-на-Дону, Легион,

2025.

5.

Левитас Г.Г. Об алгебраическом решении текстовых

задач.//Математика в школе, №8, с.13.2000.