МБОУ «Центр образование №23» «Возрождение»
Учитель математики

И. П. Духновская

г. Тула

2015 г.

«Музыка, поэзия, математика — сколь родственны они».
1
«Язык, музыка, математика». Почему мы для своего диспута выбрали именно эту триаду? Ведь математика - это наука, музыка - искусство, а язык - это язык. Обычно их изучают порознь. Более того, в школе язык, музыку и математику причисляют к предметам, овладеть которыми не так-то просто. Утверждают, что они открывают свои тайны только тем, кто обладает особыми способностями. И дело все в том, что число возможных взаимосвязей между элементами языка, музыки или математики очень велико. Приведем в подтверждение один пример. Прочитав стихотворение, вы можете сначала лишь сказать, нравится оно вам или нет. Затем вы начинаете анализировать его, смотрите, какими словами автор создает тот или иной образ, вслушиваетесь в ритмику стихотворения, в чередование ударных и безударных слогов и т. д. Много ли можно извлечь из такого анализа стиха? Весьма много! Точно так же сравнение геометрических параллельных с параллелями в музыке обогащает и расширяет понятие параллельности. После этого уже нетрудно понять, что в языковых параллелях таится строгая логика, присущая математическим рассуждениям, подобно тому, как в музыкальности стиха немало заимствованного от музыки. Показать вам такие скрытые взаимосвязи между языком, музыкой, математикой и стремились мы, готовясь к своему выступлению. Чего мы ждем от вас? Соучастия в раскрытии этих удивительных связей и зависимостей. Нам хотелось бы, чтобы сведения, почерпнутые из нашего диспута, побудили вас к самостоятельным размышлениям. А мы со своей стороны гарантируем вам ни с чем не сравнимую радость открытий, радость творчества.
И так ритм

(Болеро сначала громко, потом фоном)
Окружающий нас мир полон ритмов. О чем говорит это слово? Несколько примеров помогут нам увидеть и услышать ритмы. Оглядимся вокруг. Прислушаемся. Ритмично звучат шаги, стучат и грохочут машины: моторы автомобилей, двигатели тракторов, колеса поездов, станки в заводских цехах. Ритмично мелькают кадры кинофильма, сменяя друг друга так быстро, что мы не успеваем уловить, когда один кадр переходит в другой: для нашего глаза движения, разложенные на отдельные фазы, сливаются. Электрическая лампа вспыхивает и гаснет пятьдесят раз в секунду, хотя мы этого не замечаем. Но если, стоя под лампой, помахать перед глазами пальцем из стороны в сторону, то мы увидим сразу как бы несколько пальцев: скрытый ритм станет явным. «Ритмично» расположены окна по фасаду дома, деревья и телеграфные столбы вдоль шоссе, шпалы вдоль полотна железной дороги, сантиметровые деления на деревянном метре, товары на полках магазина, виноградные лозы на склонах холмов. Ритмично звонит колокол, трещит трещотка, постукивает агрегат холодильника, звенит пила, кукует кукушка. Ритмичны и многие другие звуки.
(Слайд – шоу)
Нескончаемой чередой приходят на смену друг другу дни и ночи, времена года и сами годы. Их четкий ритм подчиняется движению Земли. Один оборот вокруг своей оси Земля совершает за сутки - за 24 часа. Один оборот вокруг Солнца Земля совершает за год. Луна описывает полный оборот вокруг Земли за 28 суток. И здесь все движения подчинены определенному ритму.
Музыка (играет ученица 6 класса)
2
Стоит нам услышать слово ритм, как наши мысли невольно обращаются к музыке, и это вполне понятно: ведь ритм - один из важнейших элементов музыки. А какой ритм неотступно сопровождает каждого из нас с первой до последней минуты жизни? Ритм бьющегося сердца. Сложный ритм биения сердца специальный медицинский прибор, электрокардиограф, записывает в виде особой кривой - кардиограммы. С сердцебиением непосредственно связан еще один жизненный процесс, также обладающий своим собственным ритмом: дыхание. Разумеется, ритм дыхания не всегда один и тот же, не всегда равномерен. Х о д ь б а - равномерное, ритмичное движение, в к о т о р о е в ы приводите свое тело. Во время п е ш е й прогулки, совершаемой размеренным шагом, можно мысленно представить себе любой ритм. Например, в такт шагам можно бормотать себе под нос: В такт шагам можно не только мысленно отбивать понравившийся вам ритм, но и напевать про себя какую-нибудь песню, известную или сочиненную на ходу. Не беда, если вы окажетесь в таком месте, где не очень-то разгуляешься: «ритм шагов» можно отстукивать пальцами по столу или даже на собственном колене. Существует немало видов спорта, требующих ритмически повторяющихся движений, например плавание или гребля (другие виды спорта вы без труда назовете сами). Ритмические движения обычно выполняют те, кто занимается утренней зарядкой. Что это за движения? (звучит музыка, учащиеся 5 классов показывают движения аэробики) Некоторые виды физического труда также связаны с необходимостью совершать ритмические движения. Такова, например, работа тех, кто рубит и пилит лес... Многие машины и механизмы издают во время работы характерный шум. Взять хотя бы тиканье часов или стук колес проходящего поезда (звуки). Все перечисленные нами ритмы заимствованы не из музыки, а звучат в повседневной жизни. В ее шуме можно различить свои ритмы, свои мелодии. Из них и складывается музыка.
Литература
С недавних пор вошло в моду украшать интерьеры квартир камнями необычной формы или причудливо изогнутыми корнями деревьев, найденными во время прогулки в лесу. Эти дары природы называют «счастливыми находками». Тот, кто находит стих, находит и ритм. Например, в рекламе: «Молоко вдвойне вкусней, Если это Milky Way» Фраза звучит, как строка стихотворения. И хотя реклама не столь осязаема, как корень дерева или камень, стихотворную строку мы можем тоже считать «счастливой находкой». Произнеся слова рекламы вслух несколько раз подряд, вы также обнаружите ритм. Текст делится на две одинаковые по ритмическому рисунку части: 3
На мониторе та ти ти та ти ти та || та ти ти та ти ти та Ритм этой стихотворной строки можно выстукивать, как ритм музыкального произведения, поэтому такие стихи и получили название
метрических.

Математика
Ритмы можно обнаружить и среди чисел. Взять хотя бы дробь 1/81. Ее можно записать в виде Какой ритм вы обнаруживаете здесь? Дробь 1/81 записывается в виде бесконечной периодической десятичной дроби, да и период ее также отличается необыкновенной правильностью: 012345679. Единственный «изъян» периода - среди цифр нет восьмерки. Дробь, допускающую разложение в бесконечную периодическую десятичную дробь с периодом 0123456789, найти совсем нетрудно. Из школьного курса математики известно, что Дробь 1/81 таит в себе и другой ритм. Его вы могли обнаружить, если вам когда-нибудь случалось делить 1 на 81. Если же вы никогда не делали этого, то займемся делением вместе: Обратим внимание на последовательность, в которой расположены остатки: 1, 10, 19, 28, ... Мы видим, что каждый остаток на 9 больше предыдущего, п р и ч е м в о зрастание остатков происходит до тех п о р , п о к а о н и н е превосходят делитель, то есть число 81, после чего все повторяется сначала: ... 64, 73, 1, 10, ... Следующие дроби представляют интерес главным образом не сами по себе. Заметили ли вы какую-нибудь закономерность? Период каждой из десятичных дробей состоит из одного и того же набора цифр, но начинается каждый период с разных мест. В чем, по-вашему, здесь причина? П о п ы т а й т е с ь о б н а р у ж и т ь закономерности, скрытые в этой таблице. Какое равенство должно стоять вместо вопросительного знака? 4
Н е п р о и з в од я н и к а к и х выкладок, на основании лишь изве стных з а ко н о м е р н о с т е й переходя от обычных дробей к десятичным, скажите, как будет выглядеть десятичное разложение д р о б и 1 / 9 9 9 9 9 9 9 9 9 . ( о т в е т 0,000000001…) Рассмотрим еще одну группу интересных дробей: Интересно сравнить числа, стоящие на одном и том же уровне в левых и правых частях приведенных нами равенств. Они совершенно однотипны и отличаются лишь тем, что в любых двух равенствах, расположенных на одной горизонтали, единицы заменены девятками, а девятки - единицами (если не считать единицы, стоящей в числителе). Заслуживают внимания и такие дроби: Оба равенства переходят друг в друга при замене 27 на 37 и наоборот. Попытайтесь найти другие пары таких дробей. Несколько примеров:
МУЗЫКА
Музыка тоже любит счет. Каждое музыкальное произведение имеет размер, который записывается как в математике дробью: 4 2 полька, галоп, 4 3 - вальс, мазурка, 4 4 - марш, полонез. Послушайте, как звучит размер 4 3 в вальсе (играют учащиеся 3 и 4 классов).
литература
Схему чередования ударных и безударных слогов мы называем стихотворным метром, размером. Но бывают и так называемые
СВОБОДНЫЕ СТИХИ (верлибр)
– нерифмованные стихи, расчленённые на стихотворные строки, но не обладающие постоянными признаками их соразмерности, таким как метр и рифма и сохранивший 5
только один признак, отличающий стихи от прозы – заданное членение на строки, отмечаемые в тексте графическим их расположением. Таков, скажем, верлибр А. Блока «Она пришла с мороза…» Она пришла с мороза, Раскрасневшаяся, Наполнила комнату Ароматом воздуха и духов, Звонким голосом И совсем неуважительной к занятиям Болтовней. Она немедленно уронила на пол Тол с т ы й том худ о ж е с т в е н н о г о журнала, И сейчас же стало казаться, Что в моей большой комнате Очень мало места. Всё это было немножко досадно И довольно нелепо. Впрочем, она захотела, Чтобы я читал ей вслух "Макбета". Едва дойдя до пузырей земли, О которых я не могу говорить без волнения, Я заметил, что она тоже волнуется И внимательно смотрит в окно. Оказалось, что большой пестрый кот С трудом лепится по краю крыши, Подстерегая целующихся голубей. Я рассердился больше всего на то, Что целовались не мы, а голуби, И что прошли времена Паоло и Франчески. А вот как Анна Ахматова ответила поэту: Я пришла к поэту в гости. Ровно полдень. Воскресенье. Тихо в комнате просторной, А за окнами мороз. И малиновое солнце Над лохматым сизым дымом... Как хозяин молчаливый Ясно смотрит на меня! У него глаза такие, Что запомнить каждый должен, Мне же лучше, осторожной, В них и вовсе не глядеть. Но запомнится беседа, Дымный полдень, воскресенье В доме сером и высоком У морских ворот Невы. Эти стихотворения являются поэтическими диалогом, то есть это произведение является неким отзывом на стихотворение Блока «Она пришла с мороза раскрасневшаяся...». Может показаться, что оба поэта описывают один и тот же день, одно и то же событие. Похожи также и стихотворные формы двух этих произведений: верлибр (свободный стих) у Блока и белый стих у Ахматовой (
Белый стих
— стих, не имеющий рифмы, но, в отличие от свободного стиха, обладающий определённым размером: белый ямб, белый анапест, белый дольник). Не смотря на отсутствие рифмы, в стихотворении соблюдается определенная интонация. Для своего стихотворения Ахматова выбрала четырехстопный хорей, придающий произведению напевность и музыкальность, что создает впечатление оды или, скорее, церковного песнопения. Игра 6
В игру, о которой мы сейчас расскажем, нужно играть вчетвером. Каждый из участников выбирает для себя название одной страны света и, дождавшись своей очереди, произносит его. Сначала несколько туров подряд все участники поочередно называют стороны света в одной и той же последовательности. Тот, кто произносит слово «Север», всегда делает акцент, это означает начало очередного тура. До тех пор, пока в игре принимают участие все четверо игроков, каждый из них в каждом туре повторяет название одной и той же страны света. Но вот один из участников почему-либо выходит из игры, и теперь названия четырех стран света в той же последовательности, что и прежде, приходится произносить трем оставшимся игрокам. Называть страны света они будут, разумеется, в том же порядке. Проследите, как будет перемещаться знак акцента? «Север» по-прежнему остается «под ударением», но произносит это слово каждый раз другой игрок. Названия других сторон света также успевают за один тур «переместиться» на одного человека, и произносит их игрок, следующий за тем, кто произносил в предыдущем туре. Разумеется, вместо четырех стран света можно было бы использовать и любые другие четыре названия, например специи (перец, соль, корица, кориандр), буквы (А, Б, В, Г), времена года (весна, лето, осень, зима), части растения (корень, стебель, лист, цветок) и т. д. Какие именно, четыре слова вы предпочитаете называть, дело ваше. Затем вместо того, чтобы называть вслух четыре страны света, буквы и т. п., играющие начинают по очереди подавать четыре различных звуковых сигнала, например, хлопать в ладоши, стучать по чему-нибудь, щелкать пальцами (или языком), топать ногами, чмокать, свистеть... Один из звуковых сигналов можно заменить паузой. Это потребует от играющих большого внимания. Пауза должна быть «тихой», то есть игрок, на которого в очередном туре придется пауза, дождавшись своего «хода», должен промолчать, а не произносить вслух слова «пауза». Игра, кажется, очень простой, но такое впечатление обманчиво. Попробуйте и убедитесь сами: чтобы сыграть без ошибок несколько туров подряд, требуется внимательно следить за очередностью сигналов. Четыре стороны света, четыре буквы, четыре различных звуковых сигнала в действительности изображают доли размера 4 4 : Первая доля и каждая четвертая после нее - сильные. Это в точности соответствует тому, что на первой доле каждого такта чаще всего делается акцент. Когда играют вчетвером, акцент всегда приходится на одного и того же участника, и распределение ролей между остальными игроками также остается неизменным. Когда же размер 4 4 вынуждены заполнять три игрока, акцент, а вместе с ним и слабые доли всякий раз распределяются по-разному. В каждом новом туре каждый участник игры исполняет иную роль, отличную от той, которую он исполнял в предыдущем туре; это нескончаемое чередование ролей и требует от участников напряженного внимания. Всем рассмотренным нами играм присуща одна математиче ская закономерность. 7
Пусть игра продолжается до тех пор, пока акцентированная доля или право произнести слово «Север» не перейдет снова к первому игроку. Через сколько ходов это произойдет? Если хорошенько подумать, то станет ясно, что желаемое событие случится после 12 ходов на 13-м, то есть интересующее нас событие произойдет через 4 • 3 = 12 ходов. Общая закономерность (которую вы, должно быть, заметили сами) состоит в следующем: число ходов равно наименьшему общему кратному количества участников и количества названий предметов.
Литература
Собиратели и исследователи фольклора уже давно обратили внимание на «складность» русских пословиц. Специально рассмотрению стихотворной формы пословиц и близких к ним жанров посвящено исследование И. И. Вознесенского «О складе или ритме и метре кратких изречений русского народа: пословиц, поговорок, загадок, присказок и др.» В пословицах находят отражение самые разнообразные взаимосвязи жизненных явлений, имеющие нередко глубокий философский смысл. При этом пословицы стремятся выразить их наиболее наглядно, как отношения между двумя конкретными предметами или явлениями. В большинстве пословиц совершенно отчетливо выступают два объекта суждения. Именно поэтому, на наш взгляд, двучленная форма в пословицах является самой естественной и самой употребительной. Вот примеры параллелизмов: «После грозы вёдро, после горя радость»; «Без топора не плотник, без иглы не портной»; сравнения: «Красна девка в хороводе: что маков цвет в огороде». И, наконец, следует отметить (а это для нашей темы особенно важно), что двучленность пословиц обусловлена также их стремлением к определенной интонационно-ритмической организации речи. Как показывают наблюдения, обе части пословицы, отделенные друг от друга паузой, нередко произносятся с аналогичной или близкой интонацией. И вот эта интонационная повторяемость частей создает здесь, конечно, определенную ритмичность. Например: «На бога надейся, а сам не плошай». Само собой разумеется, что эта ритмичность еще более повышается в многочленных пословицах, т. е. в пословицах, состоящих из трех и более частей. Вот примеры трехчленной пословицы: «Земля любит навоз, лошадь — овес, а воевода — принос». Многие двучленные и многочленные пословицы суть не что иное, как стихи- фразовики. Для наглядности разобьем приводимые ниже пословицы на стихотворные строчки. Когда деньги говорят, Тогда и правда молчит. Козла спереди бойся, Коня — сзади, А злого человека со всех сторон. Портной без кафтана, 8
Сапожник без сапог, А плотник без дверей. Фразовик со смежными рифмами называется «раешным стихом» или «раешником». В пословицах чаще всего встречается именно он. Приведу лишь некоторые примеры раешника: Житье нам, житье: Как подумаешь, так и за вытье. На мужике кафтан хоть сер, Да ум у него не черт съел. В раешном стихе ритмичность достигается тем, что в нем речь паузами и рифмами делится на стиховые строки, являющиеся аналогичными в интонационном отношении. В тонических пословицах наблюдается тенденция к уравниванию времени, необходимого на произнесение их отдельных частей (членов). В связи с этим хочется обратить внимание на следующее явление. В двучленных пословицах мы иногда наблюдаем выпадение из второй части подлежащего, сказуемого или других членов предложения, легко подразумеваемых из контекста речи. И весьма показательно, что в таких случаях утраченное слово, а вместе с ним и ударение компенсируются дополнительной паузой. Например: «Моль одежду ест, а печаль — (пауза) сердце»; «Злой плачет от зависти, добрый — (пауза) от радости»; «Видна печаль по ясным очам, кручина — (пауза) по белу лицу». В пословицах можно встретить хорей: «Много шуму — мало толку», «Тише едешь, дальше будешь»

та ти ׀та ти ׀та ти ׀та ти , ямб: «Горячее едят подьячие, голодные едят холодное», «Мели, Емеля, твоя неделя»

ти та ׀ти та׀ ти та ׀ти та ; дактиль: «Жгуча крапива родится, да в щи пригодится»

та ти ти׀ та ти ти ׀та ти ти ׀та ти ти ; амфибрахий: «У горькой беды нет сладкой еды»

ти та ти ׀ти та ти ׀ти та ти ; анапест: «Без коня не казак»

ти ти та ׀ ти ти та . Большую ритмико-смысловую роль в пословицах играет рифма. Что же в этом отношении представляют собой пословичные рифмы? Как показывают наблюдения, рифмы в пословицах являются не случайными, а совершенно преднамеренными, специально созданными. Например: «Жить было тихо, да от людей лихо»; «Стой, не шатайся; ходи, не спотыкайся; говори, не заикайся; ври, не завирайся». Ритм придает пословицам и поговоркам большую выразительность. И хотя он не отличается особой правильностью, тем не менее, помогает запомнить содержание пословиц и поговорок, их чеканную форму.
МУЗЫКА

(играют учащиеся 4 и 9 классов С. Подрядов и А. Медведева)
9
Интересен тот факт, что Пифагор, которого мы знаем как математика, доказавшего знаменитую теорему в геометрии, сделал важные открытия в музыке. Гитаристам будет интересно, что колебание воздуха при натяжении струны дает, кроме основного, много призвуков – обертонов. Семь ступеней лада символизировали, по Пифагору, семь небесных сфер, а это есть музыкальная гамма. Одним из жанров церковной музыки является – хорал, который предполагает одновременное звучание сразу нескольких голосов. Были случаи, когда хорал вмещал 36 различных голосов, которые не должны были пересекаться и создавать при этом благозвучие. Поэтому хоралы поручали просчитывать математикам. Можете себе представить, как звучит 36 голосные произведения! Музыка, которую вы сейчас услышите, включает только два голоса, которые появляются то в партии левой руки, то в правой.
ЛИТЕРАТУРА
Стихи, как правило, обладают повторяющимся ритмом, однако уловить, например, у В. Маяковского закономерность в звучании стиха не всегда удается с первых строк.
Владимир Маяковский

ХОРОШЕЕ ОТНОШЕНИЕ К

ЛОШАДЯМ
Били копыта, Пели будто: - Гриб. Грабь. Гроб. Груб.- Ветром опита, льдом обута улица скользила. Лошадь на круп грохнулась, и сразу за зевакой зевака, штаны пришедшие Кузнецким клёшить, сгрудились, смех зазвенел и зазвякал: - Лошадь упала! - Упала лошадь! - Смеялся Кузнецкий. Лишь один я голос свой не вмешивал в вой ему. Подошел и вижу глаза лошадиные... Улица опрокинулась, течет по-своему... Подошел и вижу - За каплищей каплища по морде катится, прячется в шерсти... И какая-то общая звериная тоска плеща вылилась из меня и расплылась в шелесте. "Лошадь, не надо. Лошадь, слушайте - чего вы думаете, что вы сих плоше? Деточка, все мы немножко лошади, каждый из нас по-своему лошадь". Может быть, - старая - и не нуждалась в няньке, может быть, и мысль ей моя казалась пошла, только лошадь рванулась, встала на ноги, ржанула 10
и пошла. Хвостом помахивала. Рыжий ребенок. Пришла веселая, стала в стойло. И всё ей казалось - она жеребенок, и стоило жить, и работать стоило .
МАТЕМАТИКА
Очень красивые примеры правильных и неправильных ритмов встречаются в математике. Запишем первые сто натуральных чисел. расположив их в виде изящной правильной фигуры - так называемого пифагорова квадрата. Займемся поиском ритмов, скрытых в этой таблице. Одну - две особенности ее можно заметить, что называется, невооруженным глазом: у чисел, стоящих в одной строке, совпадают первые цифры, у чисел, стоящих в одном столбце, совпадают вторые цифры. Обнаружить закономерности, скрытые в таблицах, которые мы вам покажем, не столь просто. Но прежде чем углубиться в рассмотрение таблиц, попытаемся выяснить, каким ритмом обладают кратные какого-нибудь числа. Например, начнем с нуля и, увеличивая каждый раз на единицу, будем акцентировать все числа, кратные 3. Вот что у нас получится: >0 1 2 >3 4 5 >6 7 8 >9 10 1 1 >12 13 и т. д. (напомним: 0 кратен 3).Мы пришли к красивому, правильному равномерному ритму, звучащему, как музыкальный размер 4 3 . Правильный равномерный ритм выявляется при рассмотрении кратных не только числа 3, но и других чисел. А теперь внимательно вглядимся в таблицы: 11
Эти таблицы говорят сами за себя. При взгляде на них становятся заметными многие важные свойства делимости. А что произойдет, если две такие таблицы наложить друг на друга? Возьмем, например, таблицу кратных числа 4 и наложим ее на таблицу кратных числа 6. Числа, обведенные двойной рамкой, располагаются в правильной последовательности. Именно так выглядела бы таблица кратных нового числа - двенадцати. Разумеется, такое совпадение не случайно, и причину его легко понять: число 12 - наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. 12
А рядом для сравнения рассмотрим таблицу, лишенную всякого ритма. Можете ли вы установить, по какому правилу выделены числа? Квадратными рамками здесь обведены так называемые простые числа, то есть числа, делящиеся только на единицу и на самих себя. Чтобы вы могли лучше почувствовать, насколько неправилен этот ритм и как сильно он отличается от равномерного ритма кратных, попробуйте выстучать его на чем-нибудь. Можно поступить иначе: называйте вслух одно за другим через равные промежутки времени натуральные числа и акцентируйте все простые числа. Сравните также правильное чередование кратных с причудливым распределением простых чисел в построенных нами таблицах.
ЛИТЕРАТУРА
Сейчас мы уже поговорим о ритмичном звучании собственных имен и фамилий. К именам, произносимым в определенном ритме, можно подобрать «продолжение». На этом принципе основана одна из разновидностей фольклора - так называемые «дразнилки». Обычно в «дразнилках» фигурируют имена " Федя - бредя, съел медведя…", "Борис - на ниточке повис", «Всем по ириске, а Вовке очистки». В этом есть, конечно, что-то очень легкое, в ритме танца. Недаром Чуковский писал, что дети легко идут на хорей, потому что они сами ходят в ритме хорея.
Ритм и рифма в

дразнилке

на

первом

месте.

А

вот

логика

необязательна.
«Ленка-пенка — колбаса, на веревочке оса!» Что? Чего? Какая веревочка? В известном возрасте интерес к противоположному полу проявляется во враждебном поведении. Классический пример — мальчики дергают девочек за косички. Ну или что-нибудь в этом роде. В ответ можно услышать такое: Нынче воскресенье, Девочкам — варенье, А мальчишкам-дуракам — Толстой палкой по бокам. 13
Вообще, ДРАЗНИЛКИ (по "Толковому словарю русского языка" В. И. Даля) - это выражения, которыми умышленно сердили кого-либо. " Бабка-ежка, костяная ножка!.." Но чаще дразнилки высмеивают:  жадных ребят,  хвастунов,  воображал,  трусов. Достается плаксам и ябедам. Не только взрослые учат ребят уму-разуму. Но дети и сами все время воспитывают друг друга, исправляют недостатки. Ну а если дразнят не по делу, всегда можно ответить отговоркой: "Кто как обзывается, тот так и называется!", "Шел -шел крокодил, твое слово проглотил, а мое оставил и печать поставил!". Итак, все элементы триады — язык, музыка, математика — нами представлены. Среди них нет ни главных, ни второстепенных, речь не шла ни о математизации языка и музыки, ни о гуманитаризации математики. Образуя неразрывное единство, все три компоненты взаимопроникают и тесно переплетаются, дополняя и обогащая наши представления о наиболее важных особенностях структуры языка, музыки и математики.