Исследовательская работа по математике

Исследовательская работа по математике

Признаки делимости

Признаки делимости





Выполнила: ученица 6-б класса

Выполнила: ученица 6-б класса

Берсанова Анастасия

Берсанова Анастасия

Руководитель: Горшенина Е.А.

Руководитель: Горшенина Е.А.


«ЧИСЛО- ЕСТЬ СУЩНОСТЬ

«ЧИСЛО- ЕСТЬ СУЩНОСТЬ

ВСЕХ ВЕЩЕЙ. ЧИСЛА ПРАВЯТ

ВСЕХ ВЕЩЕЙ. ЧИСЛА ПРАВЯТ

МИРОМ!»

МИРОМ!»

Пифагор

Пифагор


Цель работы: дополнить уже известные признаки делимости

натуральных чисел, изучаемые в школе.

Задачи исследования:

Задачи исследования:

1.Изучить историю вопроса.

1.Изучить историю вопроса.

2.Повторить признаки делимости натуральных чисел на 2, 3,

2.Повторить признаки делимости натуральных чисел на 2, 3,

5, 9, 10, 100, 1000 изучаемые в школе.

5, 9, 10, 100, 1000 изучаемые в школе.

3.Исследовать самостоятельно признаки делимости

3.Исследовать самостоятельно признаки делимости

натуральных чисел на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15,17, 18, 19, 20,

натуральных чисел на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15,17, 18, 19, 20,

23, 25, 27, 29, 30, 31, 37, 41, 50, 59, 79, 99 и 101.

23, 25, 27, 29, 30, 31, 37, 41, 50, 59, 79, 99 и 101.

4.Изучить дополнительную литературу о других признаках

4.Изучить дополнительную литературу о других признаках

делимости натуральных чисел.

делимости натуральных чисел.

5.Систематизировать и обобщить признаки делимости

5.Систематизировать и обобщить признаки делимости

натуральных чисел.

натуральных чисел.

6.Рассмотреть применение признаков делимости натуральных

6.Рассмотреть применение признаков делимости натуральных

чисел при решении задач.

чисел при решении задач.


Предмет исследования

Предмет исследования

:

:

делимость натуральных чисел.

делимость натуральных чисел.

Методы исследования

Методы исследования

:

:

сбор информации, обработка данных,

сбор информации, обработка данных,

наблюдение, сравнение, анализ.

наблюдение, сравнение, анализ.

Актуальность:

Актуальность:

При изучении на уроках математики темы:

При изучении на уроках математики темы:

«Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у

«Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у

меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Не

меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Не

всегда одно натуральное число делится на другое

всегда одно натуральное число делится на другое

натуральное число без остатка. Деля натуральное число, в

натуральное число без остатка. Деля натуральное число, в

особенности многозначное, получаем остаток, ошибаемся,

особенности многозначное, получаем остаток, ошибаемся,

тем самым теряем время. Возникает необходимость, не

тем самым теряем время. Возникает необходимость, не

выполняя деление установить, делится ли одно натуральное

выполняя деление установить, делится ли одно натуральное

число на другое.

число на другое.

Гипотеза

Гипотеза

:

:

Если можно определить делимость натуральных

Если можно определить делимость натуральных

чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым

чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым

можно определить делимость натуральных чисел на другие

можно определить делимость натуральных чисел на другие

числа.

числа.


1.Изучение признаков делимости

1.Изучение признаков делимости

.

.

Признак делимости

Признак делимости

— алгоритм, позволяющий сравнительно

— алгоритм, позволяющий сравнительно

быстро определить, является ли число кратным заранее

быстро определить, является ли число кратным заранее

заданному.

заданному.

Следствие из простейших свойств делимости

Следствие из простейших свойств делимости

: е

: е

сли сумма

сли сумма

двух чисел и одно из слагаемых делится на некоторое число

двух чисел и одно из слагаемых делится на некоторое число

b, то другое слагаемое также делится на b.

b, то другое слагаемое также делится на b.

Теорема о делимости произведения

Теорема о делимости произведения

.

.

Если в данном произведении хоть один из сомножителей

Если в данном произведении хоть один из сомножителей

можно поделить на определенное число, то и все

можно поделить на определенное число, то и все

произведение будет делиться на это же число.

произведение будет делиться на это же число.


Признак делимости на 2:

Признак делимости на 2:

Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда,

Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда,

когда оно оканчивается четной цифрой или нулем.

когда оно оканчивается четной цифрой или нулем.
Например: Например: 1.Число 874 делится на 2, так как последняя цифра 4 – четная. 1.Число 874 делится на 2, так как последняя цифра 4 – четная. 2.Число 911 не делится на 2, так как 1 – нечетная цифра. 2.Число 911 не делится на 2, так как 1 – нечетная цифра. 3.Число 1560 делится на 2, так как последняя цифра нуль. 3.Число 1560 делится на 2, так как последняя цифра нуль.

Признак делимости на 3:

Признак делимости на 3:

Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда,

Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда,

когда сумма его цифр делится на 3.

когда сумма его цифр делится на 3.
Например: Например: 1. Число 671 не делится на 3, так как сумма цифр 6 + 7 + 1=41, Число 671 не делится на 3, так как сумма цифр 6 + 7 + 1=41, 4 + 1=5 не делится на 3. 4 + 1=5 не делится на 3. 2. 2. Число 1281 делится на 3, так как сумма цифр 1 + 2 + 8 + Число 1281 делится на 3, так как сумма цифр 1 + 2 + 8 + 1=12, делится на 3. 1=12, делится на 3.

Признак делимости на 5:

Признак делимости на 5:

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя

цифра делится на 5, то есть если она 0 или 5.

цифра делится на 5, то есть если она 0 или 5.
Например: Например: 1.Число 11595 делится на 5, так как число оканчивается 1.Число 11595 делится на 5, так как число оканчивается цифрой 5. цифрой 5. 2.Число 2670 делится на 5, так как число оканчивается 0. 2.Число 2670 делится на 5, так как число оканчивается 0.

Признак делимости на 9:

Признак делимости на 9:

Число делится на 9 тогда и только тогда,

Число делится на 9 тогда и только тогда,

когда сумма цифр числа делится на 9.

когда сумма цифр числа делится на 9.
Например: Например: Число 3328686 делится на 9, так как сумма цифр числа Число 3328686 делится на 9, так как сумма цифр числа 3+3+2+8+6+8+6=36, 3+6=9 делится на 9. 3+3+2+8+6+8+6=36, 3+6=9 делится на 9.

Признак делимости на 10, 100 и 1000

Признак делимости на 10, 100 и 1000

1. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно

1. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно

оканчивается 0.

оканчивается 0.

2. Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно

2. Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно

оканчивается двумя последними нулями.

оканчивается двумя последними нулями.

3. Число делится на 1000 тогда и только тогда, когда оно

3. Число делится на 1000 тогда и только тогда, когда оно

оканчивается последними тремя нулями.

оканчивается последними тремя нулями.


2.Классификация

2.Классификация

признаков

признаков

делимости.

делимости.

Признаки делимости можно разбить на три группы:

Признаки делимости можно разбить на три группы:

- делимость по последним цифрам числа;

- делимость по последним цифрам числа;

- делимость по сумме цифр числа;

- делимость по сумме цифр числа;

- делимость составных чисел.

- делимость составных чисел.


2.1. Признаки делимости по последним

2.1. Признаки делимости по последним

цифрам числа.

цифрам числа.

Признак делимости на 4

Признак делимости на 4
.
Натуральное число делится

Натуральное число делится

на 4 тогда и только тогда, когда последние две его

на 4 тогда и только тогда, когда последние две его

цифры образуют число, делящееся на 4.

цифры образуют число, делящееся на 4.
Число 112 делится на 4, так как две последние цифры числа образуют двузначное число, которое делится на 4.
Признак делимости на 8.

Признак делимости на 8.

Число делится на 8, если три

Число делится на 8, если три

его последние цифры - нули или образуют число,

его последние цифры - нули или образуют число,

которое делится на 8.

которое делится на 8.




Число 29560 делится на 8, так как 560 делится на 8. Число 29560 делится на 8, так как 560 делится на 8.

Признак делимости на 20.

Признак делимости на 20.

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда

число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.




Число 3480 делится на 20, так как двузначное число 80 делится на 20. Число 3480 делится на 20, так как двузначное число 80 делится на 20.
Признак делимости на 25.

Признак делимости на 25.

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда

две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.
Число 775 делится на 25, так как две последние цифры 75 делятся на 25. Число 775 делится на 25, так как две последние цифры 75 делятся на 25.
Признак делимости на 125.

Признак делимости на 125.

Число делится на 125, если три его последние

Число делится на 125, если три его последние

цифры нули или образуют число, которое делится на 125.

цифры нули или образуют число, которое делится на 125.
Число 6250 делится на 125, так как три последние цифры образуют Число 6250 делится на 125, так как три последние цифры образуют число, которое делится на 125. число, которое делится на 125.

2.2.Признаки делимости чисел по

сумме цифр чисел

Признак делимости на 7.

Признак делимости на 7.

Число делится на 7 тогда и только тогда,

Число делится на 7 тогда и только тогда,

когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц,

когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц,

делится на 7.

делится на 7.




Число 182 делится на 7, так как 18*3+2=56 Число 182 делится на 7, так как 18*3+2=56
Признак делимости на 8.

Признак делимости на 8.

Трёхзначное число делит

Трёхзначное число делит
с с
я на 8 тогда и

я на 8 тогда и

только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным

только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным

числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.

числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.
Число 768 делится на 8, так как 7*4+2*6=28+12=40 Число 768 делится на 8, так как 7*4+2*6=28+12=40

Признак делимости на 11.

Признак делимости на 11.

Число делится на 11 тогда и

Число делится на 11 тогда и

только тогда, когда на 11 делится сумма чисел,

только тогда, когда на 11 делится сумма чисел,

образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

образующих группы по две цифры (начиная с единиц).




Число 279609 делится на 11, так как 27+96+109 = 132, 01 Число 279609 делится на 11, так как 27+96+109 = 132, 01 + 32 = 33 делится на 11. + 32 = 33 делится на 11.
Признак делимости на 13

Признак делимости на 13

.

.

Число делится на 13 тогда: когда

Число делится на 13 тогда: когда

сумма числа десятков с учетверенным числом единиц

сумма числа десятков с учетверенным числом единиц

делится на 13.

делится на 13.
Число 338 делится на 13, так как 33 + 8*4 = 33 + 32 = 65 Число 338 делится на 13, так как 33 + 8*4 = 33 + 32 = 65 делится на 13. делится на 13.




В работе рассмотрены еще признаки делимости чисел

В работе рассмотрены еще признаки делимости чисел

на 17, 19, 23, 27, 29, 30, 31, 37, 41, 59, 79, 99 и 101.

на 17, 19, 23, 27, 29, 30, 31, 37, 41, 59, 79, 99 и 101.


2.3.Признаки делимости

2.3.Признаки делимости

составных чисел.

составных чисел.





Признаки делимости составных чисел строятся на

Признаки делимости составных чисел строятся на

признаках делимости простых чисел, на которые

признаках делимости простых чисел, на которые

можно разложить любое составное число.

можно разложить любое составное число.





Правила делимости чисел:

Правила делимости чисел:

•

•

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то

и сумма делится на это число.

и сумма делится на это число.

•

•

Если в произведении хотя бы один из множителей

Если в произведении хотя бы один из множителей

делится на некоторое число, то и произведение делится

делится на некоторое число, то и произведение делится

на это число.

на это число.


Признак делимости на 6.

Признак делимости на 6.

Число делится на 6, когда оно делится и на

Число делится на 6, когда оно делится и на

2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).




Число 9384 делится на 6 так, как оно делится на 2 (оканчивается Число 9384 делится на 6 так, как оно делится на 2 (оканчивается четной цифрой) и делится на 3 (сумма цифр числа 9+3+8+4=24, четной цифрой) и делится на 3 (сумма цифр числа 9+3+8+4=24, 2+4=6 делится на 3) 2+4=6 делится на 3)
Признак делимости на 15.

Признак делимости на 15.

Число делится на 15, когда оно делится

Число делится на 15, когда оно делится

на 3 и на 5.

на 3 и на 5.





Число 1020 делится на 15, так как сумма всех цифр 1+ 2 = 3

делится на 3 и последняя цифра 0.

Признак делимости на 18.

Признак делимости на 18.

Число делится на 18, если оно

Число делится на 18, если оно

одновременно делится на 2 и на 9.

одновременно делится на 2 и на 9.




Число 414 делится на 18,так как последняя цифра 4 четная и Число 414 делится на 18,так как последняя цифра 4 четная и сумма цифр 4 + 1 + 4 = 9 делится на 9. сумма цифр 4 + 1 + 4 = 9 делится на 9.

3. Практическая часть.

3. Практическая часть.

Задача 1

Задача 1

.Если из задуманного трехзначного числа вычесть

.Если из задуманного трехзначного числа вычесть

7, то полученная разность разделится на 7, если вычесть

7, то полученная разность разделится на 7, если вычесть

8, то полученная разность разделится на 8; если вычесть

8, то полученная разность разделится на 8; если вычесть

9, то полученная разность разделится на 9. Какое

9, то полученная разность разделится на 9. Какое

наименьшее из возможных чисел задумано?

наименьшее из возможных чисел задумано?

Решение:

Решение:

Задуманное число делится на 7, 8, 9. Наименьшим числом,

Задуманное число делится на 7, 8, 9. Наименьшим числом,

делящимся на 7, 8 и 9, есть число 7*8*9 = 504.

делящимся на 7, 8 и 9, есть число 7*8*9 = 504.

Ответ:

Ответ:

504.

504.


Задача 2

Задача 2

.В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок.

.В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок.

Когда стали раскладывать их десятками, то не хватило трех

Когда стали раскладывать их десятками, то не хватило трех

тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать

тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать

по 12 тарелок, то осталось 7 тарелок. Сколько было тарелок?

по 12 тарелок, то осталось 7 тарелок. Сколько было тарелок?

Решение:

Решение:

Если не хватило трех тарелок до полного числа десятков, то это

Если не хватило трех тарелок до полного числа десятков, то это

значит, что, как и при счете дюжинами, оставалось 7 тарелок.

значит, что, как и при счете дюжинами, оставалось 7 тарелок.

Значит, число тарелок без делится без остатка на 10 и на 12, то

Значит, число тарелок без делится без остатка на 10 и на 12, то

есть на 60. Среди чисел, меньших 600 и больших 500, только

есть на 60. Среди чисел, меньших 600 и больших 500, только

одно число 540 делится на 60. Значит, тарелок было 540 + 7 =

одно число 540 делится на 60. Значит, тарелок было 540 + 7 =

547.

547.

Ответ:

Ответ:

547 тарелок.

547 тарелок.


Заключение

Заключение





Зная методы исследований признаков делимости

Зная методы исследований признаков делимости

натуральных чисел можно сформулировать признаки делимости

натуральных чисел можно сформулировать признаки делимости

любых натуральных чисел.

любых натуральных чисел.





Знание признаков делимости пригодится нам при подготовке

Знание признаков делимости пригодится нам при подготовке

к экзамену по математике в 11 классе (базовый уровень, задача №

к экзамену по математике в 11 классе (базовый уровень, задача №

19). Также эти признаки часто используются при решении

19). Также эти признаки часто используются при решении

олимпиадных задач, при нахождении общего знаменателя дробей,

олимпиадных задач, при нахождении общего знаменателя дробей,

в алгебре – при решении уравнений в целых числах.

в алгебре – при решении уравнений в целых числах.





Признаки делимости применяются в различных числовых

Признаки делимости применяются в различных числовых

фокусах.

фокусах.





Цели и задачи исследовательской работы полностью

Цели и задачи исследовательской работы полностью

реализованы.

реализованы.


СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ